863 перегляд(ів)

Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної. Розв’язування вправ

    Мета уроку. Познайомити учнів з означенням похідної, з’ясувати механічний та геометричний зміст похідної;ознайомити з загальною схемою знаходження похідної в заданій точці, розвивати логічне мислення, культуру запису.

Методи і прийоми навчання. Щадне опитування, колективне розв’язування вправ, метод  «прес»

 

Хід уроку

I.Організаційна частина. Формування робочого настрою.

  II.Актуалізація опорних знань

1.Щадне опитування

– Що називається середньою швидкістю прямолінійного руху точки?

– Що називається миттєвою швидкістю рухомої точки, закон руху якої описується s=s(t) ?

– Чому дорівнює миттєва швидкість рівномірного руху?

– Яка пряма називається січною до кривої?

– Яка пряма називається граничним положенням січної?

– Яка пряма називається дотичною до кривої?

– Чому дорівнює кутовий коефіцієнт дотичної до кривої?

  1. Перевірка правильності виконання домашніх вправ за запи­сами на дошці, зробленими перед уроком.

IIІ. Пояснення нового матеріалу.

На попередньому уроці ми розглянули розв’язування двох за­дач: знаходження миттєвої швидкості та знаходження кутового коефіцієнта дотичної. Ці дві задачі розв’язуються одним і тим самим способом, який складається з таких етапів:

1) незалежній змінній х надаємо приросту Δх;

2) знаходимо приріст залежної змінної Δу;

3) знаходимо відношення Δу до  Δх ;

4) знаходимо границю даного  відношення;

Даний алгоритм використовується при розв’язуванні і інших важливих задач (зокрема, про швидкість протікання хімічних реакцій, знаходження густини неоднорідного стержня, теплоємності тіла при нагріванні, сили змінного струму в провіднику та інш.), тому доцільно всебічно вивчити властивості цієї границі, зокре­ма, вказати способи її обчислення.

Нехай задано функцію у = f(x) на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку хо даного проміжку, надамо значенню хо довільного приросту Δх (число Δх може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка хох належала даному проміжку, тоді

1) Обчислимо в точці хо приріст Δу = Δfо) функції:

Δу = Δfо) = f(xo+ Δх) – fо);

2) Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу;

3) Знайдемо границю цього відношення при умові, що Δх → 0, тобто:

Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції у = f(x) в точці хо і позначають f(хо) або у’ (читається еф штрих від хо або у штрих).

Похідною функції у = f(x) в точці хо називається границя відно­шення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

 

 Приклад 1. Знайдіть похідну функції f(x) = kx + b (k і b постійні) у точці xo

Розв’язання

Знайдемо приріст функції:

Δf = fо + Δx) – f(xo) = k(xo + Δx) + bkxob = kxo + kΔxkxo = kΔx.

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу

Отже, f ‘(хo) = k, або (kx + b)’ = k.

Відповідь: k.

З  прикладу можна зробити висновок, що похідна лінійної функції є постійна величина, яка дорівнює кутовому коефіцієнту прямої. Якщо в формулі (kx + b)’ = k покласти k = 0, b = C, де С — довільна постійна, то одержимо, що С’ = 0, тобто похідна постійної дорівнює нулю.

Якщо в формулі покласти k = 1, b = 0, то одержимо х’ = 1.

Функцію, яка має похідну в точці хо, називають диферен­ційованою в цій точці.

Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Нехай D1 множина точок, у яких функція у = f(x) диферен­ційована. Якщо кожному х з D1 поставити у відповідність число f‘(x), то одержимо нову функцію з областю визначення – D1. Цю функцію позначають f‘.

  1. IV. Розв’язування тренувальних вправ.
  2. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функ­ції f, якщо:

а) f(x) = х2 + 1 в точці 1;              б) f(x) = х3 в точці 1;

Відповідь: а) 2;         б) 3;        в) -1;

  1. Користуючись означенням похідної, знайдіть f‘(x), якщо:
  2. a) f(x) = 2х + 3; б) f(x) = х2 + х;

в) f(x) = 5х2 + 6х;       г) f(x) = 3х2 + 5х + 6.

Відповідь: а) 2;        б) 2х + 1;   в) 10х + 6; г) 6х + 5.

  1. За допомогою формули (kx + b)’ = k, знайдіть похідні функції:
  2. a) f(x) = 3х + 4;  б) f(x) = 6х – 1;

в) f(x) = 10;                         г) f(x) = 5х.

Відповідь: а) 3;         б) 6;        в) 0;        г) 5.

  1. V. Сприймання і усвідомлення механічного змісту похідної.

На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження миттєвої швидкості прямолінійного руху матеріальної точки. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямо­лінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній…

Algebra11 6-7 (61.1 KiB, 5 downloads)
Скачав конспект! Скачай презентацію-->
загрузка...

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *