1 604 перегляд(ів)

Задачі, які приводять до поняття похідної

Мета уроку: познайомити учнів із задачами, які приводять до по­няття похідної: задача про миттєву швидкість; зада­ча про дотичну до кривої; працювати над засвоєнням учнями поняття приріст аргументу та приріст функції; ознайомити з поняттям дотичної до кривої, миттєвої швидкості;розвивати логічне мислення,графічну культуру.

Методи і прийоми навчання. Колективне розв’язування вправ, робота в групах, метод «прес».

 

 

Хід уроку

І.Організаційна частина. Формування робочого настрою.

ІІ. Актуалізація знань умінь та навичок.

Самостійна робота.

І варіант

1) Розв’яжіть рівняння |2х — 3| = 9 – х. (3 бали)

2) Розв’яжіть нерівність |2х – 3| < 2 – х. (3 бали)

3) Знайдіть границі функції:

а) ; б) . (6 балів)

II варіант

1) Розв’яжіть рівняння |1 – 3х| = 4 – х. (3 бали)

2) Розв’яжіть нерівність |3х + 2| > 2х + 3. (3 бали)

3) Знайдіть границі функції:

а) ; б) . (6 балів)

Відповідь: І варіант. 1) -6; 4;   2) ;  3) а) 2; 6) -6.

ІІ варіант. 1) -1,5; 1,25;   2) (-;-1)U(l;+); 3) a) ; б) 4.

IIІ. Мотивація навчання.

Поняття похідної — фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджують процеси і явища в при­родничих, соціальних і економічних науках. Вивчення різних процесів (механічного руху, хімічних реакцій, розширення рідини при нагріванні, значення електричного струму та ін.) приводять до необхідності обчислення швидкості зміни різних величин, тобто до поняття похідної. Отже, наша найближча мета — по­знайомитися з поняттям похідної, навчитися знаходити похідні елементарних функцій та застосовувати поняття похідної до до­слідження функцій, вивчення деяких фізичних явищ, до ви­вчення геометричних понять.

  1. IV. Сприймання і усвідомлення поняття миттєвої швидкості

прямолінійного руху матеріальної точки.

Нехай матеріальна точка Μ рухається прямолінійно по зако­ну s = f(t)  (рис. 20).

В момент часу t0 вона зайняла положення М0 і пройшла шлях S0 = f(t0). Знайдемо швидкість точ­ки в момент часу t0.

Припустимо, що за довільно вибраний проміжок часу Δt, по­чинаючи з моменту  t0, точка перемістилася на відстань Δs і за­йняла положення М1. Тоді

t1 = t0 + Δts1 = f(t1) = s0 + Δs.

За проміжок часу Δί матеріальна точка проходить шлях

Δx = f(t1) f(t0) = f(t0 + Δt)f(t0). Середня швидкість υ руху на проміжку Μ0М1 дорівнює: .

Ця величина дає лише приблизне уявлення про швидкість руху матеріальної точки на розглянутому проміжку. Вона буде більш точніша, якщо проміжок Δt буде зменшуватися.

Таким чином, можна вважати, якщо Δt наближається до нуля, то середня швидкість  буде наближатися до швидкості в момент часу t0.

Миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, в мо­мент часу t0 називається границя середньої швидкості при умові, що Δt наближається до нуля.

Числа Δt, Δs називаються відповідно приростом часу, прирос­том шляху.

Отже, миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямоліній­но, є границя відношення приросту шляху Δs до відповідного приросту часу Δt, коли приріст часу наближається до нуля.

Приклад 1.

Точка рухається прямолінійно по закону s(t) = 5t2 + t + 3 (s — шлях в метрах, t – час в секундах). Знайдіть швидкість точки:

а) в довільний момент t0; б) в момент часу t = 2 с.

Розв’язання

а) 1) нехай значення аргументу t0 одержало приріст Δt, тоді t1 = t0 + Δt .

2) Знайдемо відповідний приріст шляху

Δs = s(t0 + Δt) – s(t0) = 5(t0 + Δt)2 + (t0 + Δt) + 3 – (5 t02 + t0 + 3) = 5 t02 +10 t0 Δt + 5Δt2 + t0 + Δt + 3 – 5t02t0 3 = 10t0Δt + 5Δt2 + Δt.

 

 

3) Знайдемо відношення приросту шляху до приросту часу (се­редню швидкість):

4) Знайдемо границю відношення приросту шляху до приро­сту часу (середньої швидкості):

Отже, миттєва швидкість точки в довільний момент часу t0 дорівнює 10t0 + 1.

Отже, при заданому законі руху s(t) миттєва швидкість v(t) в довільний момент часу t обчислюється по формулі v(t) = 10t + 1.

б) Якщо t = – 2 с, то маємо v(2) = 10 · 2 +1 = 21  ;

Відповідь: а) 10t + 1;    б) 21.

Виконання вправ         

1. Точка рухається прямолінійно по закону…

Algebra11 4-5 (92.1 KiB, 7 downloads)
Скачав конспект! Скачай презентацію-->
загрузка...

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *